دریای ریاضی

۰, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .

عدد في از دنباله ي فيبوناچي مشتق شده است، تصاعد مشهوري كه شهرتش تنها به اين دليل نيست كه هرجمله با مجموع دو جمله ي پيشين خود برابري مي كند. بلكه به اين دليل است كه خارج قسمت هر دو جمله ي كنار هم خاصيت حيرت انگيز، نزديكي به عدد 1.618 را دارد.

نكته ي جالب اين است كه عدد في با عدد پنج نسبت جالبي دارد كه در زير مشاهده مي كنيد:

5.+5.*5.^5 = Phi

  در زير مقداري از اين عدد نا متناهي را مي بينيد:

1.61803398874989484 8204586834365638 1177203091798057 6286213544862270 526046281890
2449707207204189391 1374847540880753 8689175212663386 2223536931793180 06076672635
4433389086595939582 9056383226613199 2829026788067520 8766892501711696 20703222104
3216269548626296313 6144381497587012 2034080588795445 4749246185695364 86444924104
4320771344947049565 8467885098743394 4221254487706647 8091588460749988 71240076521
7057517978834166256 2494075890697040 0028121042762177 1117778053153171 41011704666
5991466979873176135 6006708748071013 1795236894275219 4843530567830022 87856997829
7783478458782289110 9762500302696156 1700250464338243 7764861028383126 83303724292
6752631165339247316 7111211588186385 1331620384005222 1657912866752946 54906811317
1599343235973494985 0904094762132229 8101726107059611 6456299098162905 55208524790
3524060201727997471 7534277759277862 5619432082750513 1218156285512224 80939471234
1451702237358057727 8616008688382952 3045926478780178 8992199027077690 38953219681
9861514378031499741 1069260886742962 2675756052317277 7520353613936210 76738937645
5606060592165894667 5955190040055590 8950229530942312 4823552122124154 44006470340
5657347976639723949 4994658457887303 9623090375033993 8562102423690251 38680414577
9956981224457471780 3417312645322041 6397232134044449 4873023154176768 93752103068
7378803441700939544 0962795589867872 3209512426893557 3097045095956844 01755519881
9218020640529055189 3494759260073485 2282101088194644 5442223188913192 94689622002
3014437702699230078 0308526118075451 9288770502109684 2493627135925187 60777884665
8361502389134933331 2231053392321362 4319263728910670 5033992822652635 56209029798
6424727597725655086 1548754357482647 1814145127000602 3890162077732244 99435308899
9095016803281121943 2048196438767586 3314798571911397 8153978074761507 72211750826
9458639320456520989 6985556781410696 8372884058746103 3781054443909436 83583581381....

حيوانات، گياهان و حتي انسان ها همگي با دقتي بسيار بالا وجوهي از ضرايب في به يك مي باشند. دانشمندان قديم  1.618 را نسبت الهي عنوان كرده اند. براي آشنايي بيشتر با اين نسبت به چند نمونه ي زير توجه كنيد:

- در يك كندوي عسل هميشه تعداد زنبورهاي ماده از نرها بيشتر است. حال اگر تعداد زنبورهاي ماده را به نر تقسيم كنيم در هر كندويي در هر گوشه ي دنيا يك عدد ثابت بدست مي آيد. كه همان في است.

- نسبت قطر مارپيچ هاي حلزون نيز نسبت 1.618 به يك را دارد.

- تخمه هاي آفتابگردان به شكل مارپيچ هايي روبروي هم رشد مي كنند. نسبت قطر هر دايره به دايره بعدي 1.618 مي باشد.

  -  به نسبت هاي طولي و عرضي خطوط رنگي دقت كنيد... نسبت خطوط به هم 1.618 مي باشد.

- نسبت طولي و عرضي خال هاي پروانه ها، نسبت في است.

-  فاصله سر تا زمين را تقسيم بر فاصله ي شكم تا زمين نماييد. عدد حاصله 1.618 مي باشد.

- فاصله شانه ها تا نوك انگشت تقسيم بر فاصله آرنج تا نوك انگشت هم بيانگر عدد في مي باشد.

نمونه هاي ديگر

- باسن تا زمين تقسيم بر زانو تا زمين

- مفاصل انگشتان... تقسيمات ستون فقرات و ...  

داوينچي اولين كسي بود كه نسبت دقیق استخوان هاي انسان را اندازه گيري نمود و ثابت كرد كه اين تناسبات با ضريب عدد في هستند.

همان طور كه مي دانيد DNA زنجيره ي حياتي هر موجودي است كه در آن كليه اطلاعات آن موجود بصورت كد و زنجيروار قرار دارد. DNA 34 آنگستروم طول و 21 آنگستروم پهنا دارد و 34 و 21 جزو اعداد سري فيبوناچي هستند و تقسيم آنها بر يكديگر عدد 1.61904 را نشان مي دهد كه كاملا نزديك 1.6180339 مي باشد.

نسبت طلایی در ایران:

برج و میدان آزادی :طول بنا ۶۳ و عرض ان ۴۲ است که ۵/۱=۴۲ : ۶۳ و به عدد طلایی نزدیک می‌باشدسبک معماری آن نیزطاق بزرگی است که تلفیقی از سبک هخامنشی و ساسانی و اسلامی است که منحنی آن با الهام از طاق کسری معماری ایران باستان را تداعی می نماید.

قلعه دالاهو , کرمانشاه :خطی از استحکامات به طول دو و نیم کیلومتر و عرض چهار متر با قلوه و لاشه سنگ به همراه ملاط دیوار گچ را می سازد. سرتاسر نمای خارجی این دیوار با مجموعه‌ای از برج های نیم دایره‌ای شکل تقویت شده است.می دانیم۶/۱=۵/۲ : ۴ که همان عدد طلایی است.

بیستون از دوره هخامنشی , کرمانشاه:به طول ۵ کیلومتر و عرض ۳ کیلومتراست.اعداد۵و۳هردوجزودنباله فیبوناتچی هستندو۶/۱=۵:۳ و ابعاد برجسته کاری ۱۸ در ۱۰ پاست که قامت “داریوش”۵ پا و ۸ اینچ (۱۷۰ سانتیمتر)بلندی داردکه هر دو اعداد فیبوناتچی هستند پل ورسک در مازندران:این پل بر روی رودخانه ورسک در مجاورت سواد کوه بنا شد.بلندی این پل ۱۱۰ متر است وطول قوس آن ۶۶ متر می‌باشد(۶/۱ = ۶۶ : ۱۱۰ ).

مقبره ابن سینا:آرامگاه دروسط تالاری مربع شکل قرارگرفته که پله مدور(مارپیچ فیبوناتچی) و پایه‌های دوازده گانه برج را احاطه کرده اند .سطح حیاط باسه پله سراسری به ایوان متصل است.ایوان با دری به ارتفاع ۲/۳ متر و عرض ۹/۱ متر به سرسرای آرامگاه متصل است (۶/۱=۹/۱ : ۲/۳ )در دو طرف سرسرا دو تالار قرار دارد یکی در جنوب که تالار سخنرانی و اجتماعات است.و یکی در شمال که کتابخانه آرامگاه است.طول تالار کتابخانه ۴۵/۹ متر وعرض آن ۷۵/۵ متر است(۶/۱=۷۵/۵ : ۴۵/۹ )

ارگ بم :این بنا ۳۰۰ متر طول و ۲۰۰ متر عرض داشته و از ۲ قسمت تشکیل شده است. این دﮋ ۵ شیوه ساختاری از خشت خام دارد . (۳ و ۲ و ۵ اعداد دنباله فیبوناتچی هستند)

محاسبه:

برای بدست آوردن نسبت طلائی از تعریف هندسی آن استفاده می‌کنیم:

از این معادله که تعریف عدد  است، که از معادله سمت راست می‌توان نتیجه گرفت: ، پس خواهیم داشت:

با حذف b از طرفین به دست می‌آید:

پس از ساده سازی این معادله، معادله درجه دومی بر حسب  به دست می‌آید:

و پاسخ مثبت آن:

که همان نسبت طلائی است.

این نسبت از قدیم در بین هنرمندان و معماران شناخته شده و در آثار خود از آن استفاده می کرده اند؛ نظیر ساختمان معبد پارتنون که در آن این نسبت به کار رفته است.

.

در اهرام مصر نیز این نسبت به دقت رعیات شده است. مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا ۱٫۶۱۸۰۴ می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم!

.

مدارک به دست آمده از دو هزارسال قبل از میلاد در یکی از اهرام مصر نیز که در یکی از اطاق ها تصویری به دست آمده، حاکی از مطالعه این نسبت روی اجزای بدن انسان است که مطالعه آن توسط لوکوربوزیه معمار فرانسوی روی بدن انسان، جدول معروفی را به دست می دهد که با استفاده از قابلیت تقسیم طبیعی در بدن انسان، علم نسبت ها را در ساختمان وارد کرده است. بررسی های لوکوربوزیه بعد از وی توسط دیگر دانشمندان مورد مطالعه و پیگیری است.

لئوناردو داوینچی در ترسیم نقاشی معروف خود از بدن انسان از نسبت طلایی بهره گرفته است. به عنوان مثال نقاطی از بدن که دارای نسبت طلایی هستند:
نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا.
نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج.
نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر.
نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر.
نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا.

انتخاب ده ضلعی منتظم از طرف هنرمندان ایرانی و استفاده آن در کارهای معماری (پوشش گنبدها با کاربندی ده) و کارهای هنری (گره سازی ها که پایه آنها روی ده ضلعی منتظم قرار دارد) توجه و دقت آنها و بالاخره دید آنها را در انتخاب و به دست آوردن بهترین تناسبات در خطوط و سطوح را می رساند. چرا که در ده ضلعی منتظم نسبت شعاع به طول ضلع، همان نسبت طلائی است که در تمام کاربندی پوشش های گنبدی در معماری اصیل ایرانی – اسلامی از آن استفاده شده است.

همچنین مثلث متساوی الساقینی که ابوالوفاء بوزجانی در کشیدن پنج ضلعی از آن استفاده کرده و آن را مثلث پنج ضلعی نامیده است، مثلثی است که بین ساق و قاعده آن این نسبت طلایی وجود دارد.

در مطالعه در طبیعت نیز این تناسب زیاد دیده می شود نظیر فاصله برگ های روی ساقه و ساقه روی شاخه و شاخه روی تنه در بعضی گیاهان که بین هر دو زوج، سومی تقریبا در جای طلایی قرار گرفته است.

پوسته مارپیچی یک حلزون نمونه ای ساده و درعین حال زیبا از نسبت طلائی است.

.

نسبت طلایی در فواصل خال های پروانه

.

نسبت طلائی در فواصل افقی قطعات ویولون

رعایت نسبت طلایی در طول و عرض iPod نسبت به محصولات مشابه

برش اهرام و نسبت طلایی

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا” ۱٫۶۱۸۰۴ می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi²=phi+b²خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا” عدد طلایی را با phi نمایش می دهند)

طول وتر برای هرم واقعی حدود ۳۵۶ متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا” معادل ۴۴۰ متر می باشد بنابر این نسبت ۳۵۶ بر ۲۲۰ (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد ۱٫۶۱۸ خواهد شد.

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : “هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد”.

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد.